Метод оптимального планирования экспериментальной отработки ЛА

Анализ выражений (3.3), (3.4), (3.12), связывающих эффективность, достигнутую в процессе экспериментальной отработки, со временем и стоимостью испытаний, показывает, что время, стоимость и эф­фективность зависят от большого числа факторов: a Kt (і =

= 1,…, N). Поэтому решение задачи оптимизации в общей постанов­ке сопряжено с рядом вычислительных трудностей и может быть по­лучено приближенно численными методами.

При решении практических задач планирования опытной отра­ботки целесообразно производить декомпозицию общей задачи на ряд частных с последующей координацией полученных решений. Такой подход является рациональным с организационной точки зрения. Действительно, опытная отработка на различных уровнях сборки ве­дется обычно различными предприятиями. Централизованное пла­нирование всего процесса экспериментальной отработки, начиная с

элементов и кончая изделием в целом, затруднительно и не обеспе­чивает возможности гибкого управления этим процессом. Поэтому целесообразно определить некоторые узловые точки, обеспечиваю­щие оптимальные свойства комплексной программы испытаний в це­лом и являющиеся исходными данными для более детального плани­рования отдельных этапов этой программы.

Для нахождения таких контрольных точек используем метод иерар­хической оптимизации, основанный на анализе динамики эффек­тивности. На основе этого метода при заданных моделях динамики эффективности для каждого уровня испытаний и общей требуемой эффективности изделия определим оптимальные требования к эф­фективности для каждого уровня испытаний. При этом в качестве моделей динамики эффективности при проведении оптимизации бу­дем использовать различные модели, такие как экспоненциальная, логистическая и др.

Приведенный выше анализ иерархической модели испытаний позволяет записать модели динамики эффективности по времени и стоимости на каждом /-м уровне испытаний в виде

Щ (х,) = щ — (в/ — Ww )ехр{—0,т, };

Щ (Д С, ) = fy — (bi — W0і ) exp {-*, Д Q },

где /о/ — т/ ^ hi+h АСЬ/ ^ АС/ < ДС0/+і; Д/, ty — предельные значения эффективности для /-го уровня испытаний; W§ — начальное значе­ние эффективности на /*-м уровне испытаний; 0/, Kt — показатели роста эффективности соответственно по времени и стоимости на /*-м уровне испытаний; /о/, А О)/ — соответственно время и стоимость к началу /-го уровня испытаний.

При этом в соответствии с приведенной в тексте спецификой различных уровней испытаний выполняются условия:

Д/ > Д/-1, Э/ <6/_b

b > bj_, К’і < К[— •

Рассмотрим постановку задачи оптимизации, когда для каждого уровня определены модели динамики эффективности. При таком подходе задача ставится следующим образом. Пусть к началу прове­дения испытаний, т. е. при = 0, изделие обладает некоторой на­чальной эффективностью Wo. Пусть в результате проведения испы­таний за счет выявления и устранения дефектов проектирования необходимо повысить эффективность изделия до некоторого задан­ного значения W3. Известно также, что переход из состояния Wq в

109

состояние W3 осуществляется в N этапов, соответствующих N уров­ням иерархии испытаний. На каждом /-м этапе испытаний эффек­тивность изделия повышается от начального значения Жц,- до

^0,41 = Wj, которое в свою очередь является начальным значением эффективности для следующего этапа.

Повышение текущей эффективности изделия в процессе испыта­ний происходит в соответствии с моделью динамики эффективнос­ти, характерной для данного этапа.

Будем предварительно считать, что оценки параметров модели динамики эффективности а,, 0/, bj, К і для каждого этапа являются известными. Тогда время и стоимость, необходимые для перевода изделия из состояния W0 в состояние W3, при заданных параметрах модели динамики эффективности будут определяться только положе­нием точек перехода от одного уровня испытаний к другому, т. е. начальными значениями эффективности fV0i при / = 2,…, N. Следо­вательно, для достижения оптимальности всего процесса испытаний в целом нужно найти такие точки перехода, которые обеспечивали бы минимум общего времени (или стоимости) испытаний, необхо­димых для перехода изделия из состояния Wq в состояние fV3.

Как следует из (3.5), (3.13), общее время и стоимость складыва­ются из времени и стоимости на отдельных уровнях иерархии испыта­ний, т. е. время и стоимость являются аддитивными критериями оп­тимальности. Кроме того, из выражений (3.3), (3.12) легко видеть, что состояние изделия на /-м уровне Wj зависит только от состояния

на (/ -1 )-м уровне Wq; и не зависит от того, каким образом изделие пришло в состояние Wqi-

Таким образом, выполняются условия для применения к задаче оптимизации метода динамического программирования. В соответ­ствии с этим методом оптимизацию процесса испытаний начнем с конца испытаний, т. е. с л-го этапа. Обозначим критерий оптималь­ности на последнем л-м этапе Ф„. Обычно в качестве этой величины принимают значение частного критерия на этом шаге, например

Фя = Ъ1 •

Значение критерия Фп,…,і на последних і шагах равно т„ +… + т Величина Ф„ при заданных параметрах ап, 6„ и заданном значении W3 зависит от Щп, которое является в данной задаче управлением.

Из выражения (3.5) очевидно, что наименьшее значение

Ф* = т* = 0 достигается, когда Wq„ = W3.

Переходя к минимизации величины Фя, л-1 при найденном опти­мальном Щ„, определяем оптимальное значение, которое

также будет равно W3. Продолжая пошаговую оптимизацию, нахо­дим решение для любого /-го шага: Фл 7 при — W3, і = 2,…,л, Таким образом, в результате проведенного процесса оптимиза­ции имеем тривиальное решение: минимальное общее время испыта­ний равно нулю в том случае, если система после проведения испы­таний на первом уровне иерархии повышает свою эффективность с

Щ ДО Wr

Однако из приведенного анализа иерархической структуры про­цесса испытаний очевидно, что при начальной эффективности W0 система за один шаг не может быть переведена в состояние Wy

В рассмотренном случае на область допустимых значений не на­кладывалось никаких ограничений. Однако такое ограничение суще­ствует, а именно — W0i должно принадлежать кривой динамики эф­фективности на (/-1)-м уровне. Это ограничение можно учесть, если в качестве функции Фл принять

При заданных параметрах 0Л, 0„_i, ап, ап-, W3 функция за­висит только от значений Won, Щ)п-1, Т. е. Фп =Ф(Щл> Щ)п-0- В соответствии с методом динамического программирования проводим условную оптимизацию Фл в предположении, что состоя­ние Жол_1 известно. Дифференцируя выражение (3.16) по W$n и при­равнивая производную нулю, получаем условие оптимального пере­хода от (п -1 )-го уровня к л-му уровню:

0 л (дл “ ^0л ) = ®л-1 (дл-1 ~ Щп )* (3.17)

Проанализируем это условие. Выражение в левой части является

Таким образом, точкой оптимального перехода является точка равенства скоростей роста эффективности на (/ -1 )-м уровне в точке перехода и на 7-м уровне в начальной точке (рис. 3.8).

Для подтверждения того, что определенный экстремум является минимумом, проведем исследование соотношения (3.17). При

IV0„ < Ц$п справедливо неравенство 0Л (ап — fV0n) < Є„_і (o„_i — Щ„)-

В этом случае величина производной ЭФЛ /дЩ„ < 0. При И/0п > Wq„ соответственно ЭФЛ /dW0n > 0, 0„ (а„ — Щ„) > 0л_і {ап_ — ).

Рис. 3.8. Иллюстрация физической интерпретации точки оптимального перехода от одного уровня к другому

Таким образом, определенный экстремум соответствует мини­муму величины Ф„. Перейдем к условной оптимизации при

найденном оптимальном значении Wni = ” ~ и в предпо-

е„ — ел_,

ложении, что значение Щ„-2 известно:

Ф„ п-1 = — In °п ~ W*n + — In Дл~’ ~ + — In —п-~2 ~ ^-2

©я 0Л_! an_i — Wot Єл-2 в«-2-^0л-1

Дифференцируя Ф/|,л-1 по fVon-l и приравнивая полученную про-

изюдную к нулю, находим условие оптимального перехода от (л — 2)- го к (л -1 )-му уровню, аналогичное условию (3.17):

вл-1 (°л-1 — И’Ол-І) = ®л-2 (ал-2 — ^Оп-1 )•

В результате решения поставленной задачи получим условие опти­мального перехода от любого (/ -1 )-го уровня к /’-му уровню при / = 2, …, N:

Є/(а/-^о?) = 0мКі-^о7),

8,-д, — 6/-ia/-i 0, — 9/_1

(3.18)

Соотношения (3.17) и (3.18) имеют четкий физический смысл. Действительно, заданный отрезок траектории (W3 — Wq ) можно прой­ти за минимальное время, если скорость роста W при этом макси­мальна. Условие (3.18) как раз и обеспечивает максимальную ско­рость движения (рис. 3.8). Если движение начинается с некоторой

ТОЧКИ Wqi < 1Vq[ , в которой скорость движения по (/ -1 )-й кривой динамики эффективности выше, чем скорость движения по /-й кри­вой, то на отрезке траектории W? J — fvJ. происходит потеря времени.

Аналогичная картина наблюдается, когда wfa > WqI ■

Величина оптимального времени

Г = Ут; =Y-Linfl*-.”%.

7′ / е/ щ-И$

в/ ~ е/-1 ®/Л*/ ~ ^i-!ai-

Условие оптимального перехода в виде равенства производных текущей эффективности предыдущего и последующего уровней по­лучается и в том случае, когда все уровни описываются логистичес­кими моделями роста эффективности или часть уровней иерархии испытаний описывается экспоненциальными моделями, а часть — логистическими, а также, когда показатели роста эффективности эк­споненциальных моделей являются произвольными функциями вре­мени 0/(f). Приведем условие оптимального перехода от (/-1)-го уровня к /-му уровню испытаний для случая, когда оба уровня опи­сываются логистическими моделями. Тогда условие равенства про­изводных в точке перехода запишется:

В случае, если модели динамики эффективности описываются экспоненциальными моделями с показателями роста эффективности в виде произвольных функций времени, условие оптимального пере­хода примет вид:

в/ (0(в/ — Kf) = е,-1 (0(*м — И#),

«’о/ = [в» (0°/ — е/-1 (* )а/-1 ]/[в/ (О — е/-1 О)] •

Рассмотрим теперь задачу определения оптимальных точек пере­хода с учетом случайного характера параметров модели динамики эффективности. Для этого заменим случайную модель динамики эф­фективности осредненной неслучайной моделью и будем решать де­терминированную задачу динамического программирования. Крите­рием оптимальности выберем среднее значение времени испытаний

Т (3.7), а в качестве частного среднего критерия Фл будем рассмат­ривать функцию

Ф„ =x„ + x„_l=J-lnan JVo»+J_ln^-i Wo„-1

% an-W3 ел_і an_i — Щп

(3.19)

Найдем условный минимум функции Ф„, предполагая, что зна-

4

чения а„, ал_ь 0Я, ёл_ь И^л-Ь W3 , а также о2 (ап), о2 (апА), ст2(0л), а2(0л_і), а2 (Щп_і), а2 ), о2 (fV3 ) известны. В этом случае функция фп будет зависеть только от среднего значения Щп.

Дифференцируя выражение (3.19) по W§n и приравнивая полу­ченную производную нулю, получим условие оптимального перехода

от (п -1 )-го уровня к л-му уровню с учетом случайных характеристик параметров модели динамики эффективности. Это условие имеет вид:

где

в2 (оЛ-1 — Wp‘) (§„_!)

(*п — 1-С)2

Полученное условие легко обобщить для перехода от любого (/ -1 )-го уровня к /-му уровню. В результате найдем условие опти­мального перехода от (/ -1 )-го к /-му уровню иерархии испытаний в виде

0/ (Щ — w;<yU = ®/-1 («/-1 — <1 )А/.

Д/ =1 +————— 5~ + —=5—»

{щ-П) 02

v О2 (0м)

А/-1 =1 +——————— 5г + ————- »

(ям — Kf) 0′-i

откуда WqI = (0, д/Д/_і — 0,_1й,_| Д/)/(в, Д/_і — 0,_іД,-) и при равной точ­ности оценивания параметров моделей динамики эффективности на

і-m и (/ — 1 )-м уровнях совпадает с выражением WqI для детермини­рованного случая.

Применяя метод динамического программирования для оптими­зации средней стоимости испытаний (3.14), находим аналогичные соотношения, определяющие оптимальную точку перехода с (/ -1 )-го на /-Й уровень иерархии испытаний:

где

Jfa-I-Wof) cr2 (Ki-i)

/ — — 2 jp2 ’

откуда

Можно показать, что условие оптимального по стоимости пере­хода (3.21) в общем случае отличается от условия оптимального по времени перехода (3.20). Для этого рассмотрим несколько наиболее интересных частных случаев. Для простоты и наглядности изложения предположим, что на каждом уровне иерархии предельные по сто­имости значения эффективности равны предельным по времени зна­чениям эффективности: д/ = й/, д7*_ = й/_і. Это означает, что при испытаниях применяется самое совершенное испытательное обору­дование.

Предположим также, что точность оценки параметров модели ди­намики эффективности на всех уровнях одинакова. Тогда стоимость испытаний на каждом уровне иерархии может быть связана со време­нем проведения испытаний пропорциональной зависимостью:

АС/ =Ю/Т/, (3.22)

где со, — коэффициент пропорциональности.

Действительно, время испытаний можно определить как

Т/ = т }п, (3.23)

где т/ — время, затраченное на проведение одного испытания; п — число испытаний.

Стоимость также пропорциональна числу испытаний:

Д С, = с}п, (3.24)

где с/ — стоимость одного испытания.

Время, затраченное на проведение одного испытания, склады­вается из времени, необходимого на подготовку испытания, собствен­но испытания и анализа полученных результатов. Стоимость одного испытания складывается из затрат на амортизацию испытательного 116
оборудования, стоимости испытуемого образца, оплаты труда обслу­живающего персонала и т. д.

Выражения (3.23) и (3.24) объясняют соотношение (3.22), где

со, = С/ /т) — удельные затраты на единицу времени при проведении одного испытания.

Подставляя условие (3.22) в выражения эффективности (3.20),

(3.21) , получим зависимость между показателем роста эффективнос­ти 0/ и Кі : 0/ = щКі.

Теперь пусть коэффициент пропорциональности со/ одинаков для всех уровней иерархии, т. е. удельные затраты постоянны для всей комплексной программы испытаний. При этом, как следует из (3.20),

(3.21) , выбор W§ обеспечивает одновременно минимум среднего времени испытаний и минимум стоимости испытаний.

Рассмотрим далее ситуацию, когда удельные затраты на (/ -1 )-м уровне испытаний выше, чем на /*-м. Тогда условие минимума по

СТОИМОСТИ требует уменьшения величины Wftf по сравнению с вели­чиной Wq/ и определяет, таким образом, необходимость увеличения

продолжительности отработки на /*-м уровне испытаний.

Если удельные затраты на (/-1 )-м уровне испытаний ниже, чем на і-m, то для обеспечения минимума стоимости необходимо увели­чить продолжительность отработки на (/ -1 )-м уровне.

И наконец рассмотрим случай, когда точность оценки парамет­ров на (/ -1 )-м и і-m уровнях неодинакова. При такой ситуации так­же происходит перераспределение продолжительности отработки в за­висимости от точности оценки параметров: если точность на (/ -1 )-м уровне ниже, чем на /-м, то предпочтение следует отдавать /-му уровню и наоборот.

Пример определения оптимального объема наземных и летных испыта­нии. Для более наглядной иллюстрации методики оптимизации рассмотрим конкретный пример по определению оптимального объема летных испыта­ний. Разделим всю иерархию испытаний на два уровня: наземной и летной отработки изделия. Считаем, что изменение эффективности на каждом уров­не иерархии подчиняется экспоненциальному закону. Считаем также, что законы динамики эффективности для каждого уровня испытаний полнос­тью определены, т. е. заданы средние значения и дисперсии параметров, определяющих динамику эффективности на каждом уровне иерархии.

На рис. 3.9 кривая 1 соответствует росту эффективности при назем­ных, а 2 — при летных испытаниях. Если бы вся отработка изделия до

заданного значения эффективности W3 проводилась бы только в летном эк­сперименте, то для этого потребовалось бы время Т. При наземной отра­
ботке скорость роста эффективности выше, чем при летном эксперименте, однако предельное значение эффективности ан меньше заданного значения W3. Поэтому для сокращения общего времени и стоимости испытаний от­работку ЛА до определенного значения эффективности WQjl, соответствую­щего точке А, необходимо проводить на земле, а окончательную отработку до заданного значения эффективности W3 — в летном эксперименте. Опреде­лим точку перехода от наземных испытаний к летным испытаниям, соответ­ствующую минимуму среднего времени или средней стоимости испытаний.

t

В соответствии с формулами (3.20), (3.21) получим условие оп­тимального по времени перехода:

где

откуда (3.25)

и условие оптимального по стоимости перехода

откуда

WoL = — *АДл)/(*лДн — ^нДл) • (3-26>

Условия (3.25), (3.26) совпадают, когда

ап = Ал> ап ~ > юл = > Ад = Ад = Ад = Ад •

При сол < ©н экономически выгодно увеличение объема летной

отработки, однако общее время испытаний при этом несколько уве­личивается. Данный случай имеет место, например, при отработке сравнительно недорогих образцов одноразового действия, когда сто­имость эксплуатации наземного испытательного комплекса больше стоимости летных испытаний этих изделий. При испытании дорогого

уникального ЛА, например космического аппарата, сол < ©л и ос­новной является наземная отработка.

Таким образом, знание моделей динамики эффективности по­зволяет наиболее целесообразно распределить время и средства меж­ду наземной и летной отработками изделий.

Контрольные вопросы

1. Какова роль испытаний в создании изделий авиакосмической техники?

2. Как связаны между собой критерии эффективности изделий и испы­таний?

3. Сформулируйте современный подход к организации комплексных программ испытаний ЛА.

4. Что понимается под эффективностью сложной технической системы?

5. Сформулируйте два упрощенных подхода к учету конструктивных отказов в практике обработки данных испытаний.

6. Сформулируйте понятия дефекта и отказа.

7. В чем заключаются достоинства экспоненциальной модели динами­ки эффективности сложной системы?

8. В чем заключаются достоинства логистической модели динамики эффективности сложной системы?

9. Какими составляющими определяется среднее время испытаний?

Глава 4